Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 x + 1)}^{2} - 1}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 x + 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de ${(2 x + 1)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 0 + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{{(0 + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 x + 1)}^{2} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(2 x + 1) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.4.1.2.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.1.5

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 4 x + 1 - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.6.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10

Combine os termos.

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Etapa 1.3.10.1

Some $8 x + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10.2

Some $8 x + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4}{1}$

Etapa 1.4

Divida $8 x + 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 8 x + 4$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 4$

Etapa 2.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$8 lim_{x \to 0} x + 4$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$8 \cdot 0 + 4$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$0 + 4$

Etapa 4.2

Some $0$ e $4$ .

$4$