Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ como ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 1.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 1.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 1.1.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.10

Combine frações.

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Etapa 1.1.10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Etapa 1.1.12

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.12.1

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

Etapa 1.1.12.2

Combine $x$ e $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.12.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.12.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 1.1.12.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.12.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.12.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.12.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.12.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13

Simplifique.

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Etapa 1.1.13.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.1.13.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.1.13.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

Etapa 1.1.13.3.2

Simplifique.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

Etapa 1.1.13.3.3

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

Etapa 1.1.13.3.4

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.3.5

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.13.3.5.1

Mova $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

Etapa 1.1.13.3.5.2

Multiplique $2^{- \frac{1}{2}}$ por $2$ .

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Etapa 1.1.13.3.5.2.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

Etapa 1.1.13.3.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

Etapa 1.1.13.3.5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

Etapa 1.1.13.3.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

Etapa 1.1.13.3.5.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 1.1.13.3.6

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 1.1.13.3.7

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

Etapa 2.2

Multiplique $2^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 3

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2^{\frac{1}{2}}$ para fora da integral.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5.2.2

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5.2.3

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5.2.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

Etapa 7

Reordene os termos.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$