Cálculo Exemplos

$\frac{3}{x^{2} + 3 x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{3}{x^{2} + 3 x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 3 x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{x^{2} + 3 x} d x$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{x^{2} + 3 x} d x$

Etapa 5

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 5.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 5.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + 3 x}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{1}{x (x + 3)}$

Etapa 5.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$

Etapa 5.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 3)$ .

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.5

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 5.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.6.1.2

Divida $A (x + 3)$ por $1$ .

$1 = A (x + 3) + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.6.4

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 5.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 5.1.6.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x + 3 A + (B) (x)$

$1 = A x + 3 A + B x$

Etapa 5.1.7

Mova $3 A$ .

$1 = A x + B x + 3 A$

Etapa 5.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 5.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 5.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 3 A$

Etapa 5.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

Etapa 5.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 5.3.1

Resolva $A$ em $1 = 3 A$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva a equação como $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 5.3.1.2

Divida cada termo em $3 A = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1.2.1

Divida cada termo em $3 A = 1$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Etapa 5.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Etapa 5.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Etapa 5.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{3}$ em cada equação.

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Etapa 5.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $\frac{1}{3}$ .

$0 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3

Resolva $B$ em $0 = \frac{1}{3} + B$ .

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} + B = 0$ .

$\frac{1}{3} + B = 0$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3.2

Subtraia $\frac{1}{3}$ dos dois lados da equação.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{1}{3} A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{1}{3}, A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3 x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

Etapa 5.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Etapa 5.5.4

Multiplique $\frac{1}{x + 3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 3}$

Etapa 5.5.5

Mova $3$ para a esquerda de $x + 3$ .

$3 \int \frac{1}{3 x} - \frac{1}{3 (x + 3)} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$3 (\int \frac{1}{3 x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 3} d x))$

Etapa 11

Deixe $u = x + 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 11.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| u |)) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\ln (| x + 3 |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{\ln (| x + 3 |)}{3}) + C$

Etapa 15.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{\ln (| x |) - \ln (| x + 3 |)}{3} + C$

Etapa 15.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

Etapa 15.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 15.4.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

Etapa 15.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |}) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3}{x^{2} + 3 x}$ .

$F (x) =$ $\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |}) + C$