Cálculo Exemplos

$y = \frac{{(x^{3} + 4)}^{5}}{3 x^{4} - 2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x^{3} + 4)}^{5}$ e $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4)}^{5}] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{3} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} + 4$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 4$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova $5$ para a esquerda de $3 x^{4} - 2$ .

$\frac{5 \cdot (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + 0) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2}) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.9

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Some $12 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3})}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.11.2

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(15 (3 x^{4}) + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ de $(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Fatore ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ de $(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Fatore ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ de $- 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3

Fatore ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ de ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $15$ por $3$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $15$ por $- 2$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 12 \cdot 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 48) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{3} x - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.3.4

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.4.1

Mova $x$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x \cdot x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.3.4.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{1} x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{1 + 3} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.3.4.3

Some $1$ e $3$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{4} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Subtraia $12 x^{4}$ de $45 x^{4}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (33 x^{4} - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.5

Fatore $3$ de $33 x^{4} - 30 - 48 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Fatore $3$ de $33 x^{4}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.5.2

Fatore $3$ de $- 30$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.5.3

Fatore $3$ de $- 48 x$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.5.4

Fatore $3$ de $3 (11 x^{4}) + 3 (- 10)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.5.5

Fatore $3$ de $3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10 - 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.6

Reordene os termos.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} \cdot 3 (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{4} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$