Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 4

Avalie o limite de $\frac{π}{4}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Etapa 6.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Etapa 6.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Etapa 6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sin (\frac{π \cdot 2 - π}{4}) \frac{2}{π}$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\sin (\frac{2 \cdot π - π}{4}) \frac{2}{π}$

Etapa 6.5.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Etapa 6.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Etapa 6.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Etapa 6.7.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2} \frac{1}{π}$

Etapa 6.8

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Forma decimal:

$0.45015815 \dots$