Cálculo Exemplos

$3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2} = 2 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d y} (2 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 x^{2} y^{2}$ em relação a $y$ é $5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$6 x x' + 5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]))$

Etapa 2.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))$

Etapa 2.3.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x'))$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x'))$

Etapa 2.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x')$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$6 x x' + 10 (x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x' = 2$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $10 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$6 x x' + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Etapa 5.2

Fatore $2 x x'$ de $6 x x' + 10 y^{2} x x'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2 x x'$ de $6 x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 x x'$ de $10 y^{2} x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 x x'$ de $2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2})$ .

$2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ por $2 x (3 + 5 y^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ por $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $3 + 5 y^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 10$ e $2$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 10 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.3.1

Fatore $x$ de $- 5 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (3 + 5 y^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{(3 + 5 y^{2}) x}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(3 + 5 y^{2}) x$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{1 - 5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.5.1

Mova $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 (x \cdot x) y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$