Cálculo Exemplos

${(4 x + y)}^{4} = 3 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(4 x + y)}^{4}) = \frac{d}{d x} (3 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 4 x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + y$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y')$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y') = 3 y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y')$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + 4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y') = 3 y'$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y') = 3 y'$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(4 x + y)}^{3} \cdot 4 + 4 {(4 x + y)}^{3} y' = 3 y'$

Etapa 5.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.4.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 {(4 x + y)}^{3} + 4 {(4 x + y)}^{3} y' = 3 y'$

Etapa 5.1.4.2

Reordene os fatores em $16 {(4 x + y)}^{3} + 4 {(4 x + y)}^{3} y'$ .

$16 {(4 x + y)}^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} = 3 y'$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $3 y'$ dos dois lados da equação.

$16 {(4 x + y)}^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1

Use o teorema binomial.

$16 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$16 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.2.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$16 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.2.3

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$16 (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.2.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$16 (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.2.5

Multiplique $16$ por $3$ .

$16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.2.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (64 x^{3}) + 16 (48 x^{2} y) + 16 (12 x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.4

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.4.1

Multiplique $64$ por $16$ .

$1024 x^{3} + 16 (48 x^{2} y) + 16 (12 x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.4.2

Multiplique $48$ por $16$ .

$1024 x^{3} + 768 (x^{2} y) + 16 (12 x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.4.3

Multiplique $12$ por $16$ .

$1024 x^{3} + 768 (x^{2} y) + 192 (x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.5

Remova os parênteses.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.6

Use o teorema binomial.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.7.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.7.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.7.3

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.7.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.7.5

Multiplique $16$ por $3$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.7.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3}) + 4 y' (48 x^{2} y) + 4 y' (12 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.9

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.9.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 \cdot 64 y' x^{3} + 4 y' (48 x^{2} y) + 4 y' (12 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.9.2

Multiplique $48$ por $4$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 \cdot 64 y' x^{3} + 192 y' (x^{2} y) + 4 y' (12 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.9.3

Multiplique $12$ por $4$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 \cdot 64 y' x^{3} + 192 y' (x^{2} y) + 48 y' (x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.2.2.10

Multiplique $4$ por $64$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $1024 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $768 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$192 x y^{2} + 16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y$

Etapa 5.3.3

Subtraia $192 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $16 y^{3}$ dos dois lados da equação.

$256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $256 y' x^{3}$ .

$y' (256 x^{3}) + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $192 y' x^{2} y$ .

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $48 y' x y^{2}$ .

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $4 y' y^{3}$ .

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.4.6

Fatore $y'$ de $y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y)$ .

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.4.7

Fatore $y'$ de $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2})$ .

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.4.8

Fatore $y'$ de $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2}) + y' (4 y^{3})$ .

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.4.9

Fatore $y'$ de $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3) = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3) = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$ por $256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3) = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$ por $256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3$ .

$\frac{y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3)}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} = \frac{- 1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique os termos.

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Etapa 5.5.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{(1024) x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{(768) x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.1.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{(192) x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.5.3.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 1024 x^{3} - 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.1.2.2

Fatore $256 x^{2}$ de $- 1024 x^{3} - 768 x^{2} y$ .

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Etapa 5.5.3.1.2.2.1

Fatore $256 x^{2}$ de $- 1024 x^{3}$ .

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x) - 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.1.2.2.2

Fatore $256 x^{2}$ de $- 768 x^{2} y$ .

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x) + 256 x^{2} (- 3 y)}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.1.2.2.3

Fatore $256 x^{2}$ de $256 x^{2} (- 4 x) + 256 x^{2} (- 3 y)$ .

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x - 3 y)}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x - 3 y) - 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.1

Fatore $64 x$ de $256 x^{2} (- 4 x - 3 y) - 192 x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.1.1

Fatore $64 x$ de $256 x^{2} (- 4 x - 3 y)$ .

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x - 3 y)) - 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2.1.2

Fatore $64 x$ de $- 192 x y^{2}$ .

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x - 3 y)) + 64 x (- 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2.1.3

Fatore $64 x$ de $64 x (4 x (- 4 x - 3 y)) + 64 x (- 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x - 3 y) - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x) + 4 x (- 3 y) - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 x \cdot x + 4 x (- 3 y) - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 x \cdot x + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.2.5.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.5.1.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 (x \cdot x) + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 x^{2} + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2.5.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$y' = \frac{64 x (- 16 x^{2} + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.2.5.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$y' = \frac{64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2}) - 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.3.4.1

Fatore $16$ de $64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2}) - 16 y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.4.1.1

Fatore $16$ de $64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})) - 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.1.2

Fatore $16$ de $- 16 y^{3}$ .

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})) + 16 (- y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.1.3

Fatore $16$ de $16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})) + 16 (- y^{3})$ .

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2}) + 4 x (- 12 x y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.4.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 x (- 12 x y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.3.4.3.2.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 (x \cdot x) (- 12 y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.4.4.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.3.4.4.1.1

Mova $x^{2}$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 (x^{2} x) + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.5.3.4.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 (x^{2} x^{1}) + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x^{2 + 1} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.4.1.3

Some $2$ e $1$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x^{3} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.4.2

Multiplique $4$ por $- 16$ .

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} + 4 \cdot - 12 x^{2} y + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.4.4

Multiplique $4$ por $- 12$ .

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} - 48 x^{2} y + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.4.4.5

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} - 48 x^{2} y - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.5.3.5.1

Fatore $- 1$ de $- 64 x^{3}$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3}) - 48 x^{2} y - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.5.2

Fatore $- 1$ de $- 48 x^{2} y$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3}) - (48 x^{2} y) - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.5.3

Fatore $- 1$ de $- (64 x^{3}) - (48 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y) - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.5.4

Fatore $- 1$ de $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y) - (12 x y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.5.5

Fatore $- 1$ de $- (64 x^{3} + 48 x^{2} y) - (12 x y^{2})$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.5.6

Fatore $- 1$ de $- y^{3}$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2}) - (y^{3}))}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.5.7

Fatore $- 1$ de $- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2}) - (y^{3})$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}))}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.5.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.5.3.5.8.1

Reescreva $- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})$ como $- 1 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})$ .

$y' = \frac{16 (- 1 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}))}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 5.5.3.5.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$