Cálculo Exemplos

$S (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{1}{3} t^{3}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.2.5.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3.5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3.5 t^{2}$ em relação a $t$ é $- 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t^{2} - 3.5 (2 t) + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3.5$ .

$t^{2} - 7 t + \frac{d}{d t} [10 t]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d t} [10 t]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10 t$ em relação a $t$ é $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$f' (t) = t^{2} - 7 t + 10$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 7 t + 10$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 7 t]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7 t$ em relação a $t$ é $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 t - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 t - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$2 t - 7 + \frac{d}{d t} [10]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 t - 7 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $2 t - 7$ e $0$ .

$f'' (t) = 2 t - 7$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t - 7$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [- 7]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $2$ e $0$ .

$f''' (t) = 2$

Etapa 4

A terceira derivada de $S (t)$ com relação a $t$ é $2$ .

$2$