Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $\sec (t)$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 5.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 6

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 7

Fatore $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 9

Simplifique.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 10

Deixe $u = \sec (t)$ . Depois, $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = \sec (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Etapa 10.1.2

A derivada de $\sec (t)$ em relação a $t$ é $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Etapa 11

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 14

Simplifique.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$