Cálculo Exemplos

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Etapa 2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 2.6.1

Combine $2$ e $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Etapa 2.6.2

Combine $\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Etapa 2.6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Etapa 2.6.3.2

Divida $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Etapa 2.6.4

Reordene os fatores em $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ .

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$