Cálculo Exemplos

$x \cos (π x) + \sin (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \cos (π x) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \cos (π x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (π x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x$ .

$x (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.6

Multiplique $π$ por $1$ .

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.7

Multiplique $\cos (π x)$ por $1$ .

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) + \cos (x)$

Etapa 4

Reordene os termos.

$- π x \sin (π x) + \cos (π x) + \cos (x)$