Cálculo Exemplos

$\frac{1}{6} x^{4} + x^{3} - 10 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{6} x^{4} + x^{3} - 10 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} - 10 x^{2}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{6} x^{4} + x^{3} - 10 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{6} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $\frac{4}{6}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 10 (2 x)$

Etapa 2.1.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 20 x$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 20 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2.5

Combine $\frac{6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2.6

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.6.1

Fatore $3$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.2.6.2.4

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 20 x]$

Etapa 2.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Etapa 2.1.2.4.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} + 6 x - 20 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{2} + 6 x - 20 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.4.3

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x^{2} + 6 x - 20$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{2} + 6 x - 20$ .

$2 x^{2} + 6 x - 20$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{2} + 6 x - 20 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x^{2} + 6 x - 20 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 6 x - 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 6 x - 20 = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore $2$ de $6 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (3 x) - 20 = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $2$ de $- 20$ .

$2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 10 = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (3 x)$ .

$2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot - 10 = 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot - 10$ .

$2 (x^{2} + 3 x - 10) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.2.1

Fatore $x^{2} + 3 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $3$ .

$- 2, 5$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x - 2) (x + 5)) = 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 2) (x + 5) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.2.5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 2) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 5$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 5)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f'' (- 8) = 2 {(- 8)}^{2} + 6 (- 8) - 20$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f'' (- 8) = 2 \cdot 64 + 6 (- 8) - 20$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$f'' (- 8) = 128 + 6 (- 8) - 20$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 8$ .

$f'' (- 8) = 128 - 48 - 20$

Etapa 5.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $48$ de $128$ .

$f'' (- 8) = 80 - 20$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $20$ de $80$ .

$f'' (- 8) = 60$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $60$ .

$60$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 5)$ porque $f'' (- 8)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 5, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 2 {(0)}^{2} + 6 (0) - 20$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 2 \cdot 0 + 6 (0) - 20$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0) - 20$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $6$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 20$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 - 20$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $20$ de $0$ .

$f'' (0) = - 20$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 20$ .

$- 20$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 5, 2)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 5, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 2 {(4)}^{2} + 6 (4) - 20$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 2 \cdot 16 + 6 (4) - 20$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$f'' (4) = 32 + 6 (4) - 20$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $6$ por $4$ .

$f'' (4) = 32 + 24 - 20$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $32$ e $24$ .

$f'' (4) = 56 - 20$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $20$ de $56$ .

$f'' (4) = 36$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $36$ .

$36$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 5, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9