Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3.3

Combine $3$ e $\frac{2}{3}$ .

$- 2 x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$- 2 x + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3.5

Combine $\frac{6}{3}$ e $x^{2}$ .

$- 2 x + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 1.3.6.1

Fatore $3$ de $6 x^{2}$ .

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 x + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.3.6.2.4

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{- 3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Etapa 1.4.3

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Etapa 1.4.4

Combine $\frac{- 3}{2}$ e $x^{- 4}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Etapa 1.4.5

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2 x^{4}}$

Etapa 1.4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 x + 2 x^{2} - \frac{3}{2 x^{4}}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$4 x - 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2 x^{4}}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Etapa 2.4.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.7.1

Mova $x^{3}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Etapa 2.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Etapa 2.4.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

Etapa 2.4.8

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4 x - 2 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

Etapa 2.4.9

Combine $4$ e $\frac{3}{2}$ .

$4 x - 2 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

Etapa 2.4.10

Multiplique $4$ por $3$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

Etapa 2.4.11

Combine $\frac{12}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$4 x - 2 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

Etapa 2.4.12

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2 x^{5}}$

Etapa 2.4.13

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

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Etapa 2.4.13.1

Fatore $2$ de $12$ .

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Etapa 2.4.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.13.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{5}$ .

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

Etapa 2.4.13.2.2

Cancele o fator comum.

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Etapa 2.4.13.2.3

Reescreva a expressão.

$4 x - 2 + \frac{6}{x^{5}}$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$ .

$4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$