Cálculo Exemplos

${(x - 1)}^{2} (x - 2) (x - 4)$

Etapa 1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x + 1) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (x - 4)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)$ e $g (x) = x - 4$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Etapa 5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Etapa 5.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Etapa 5.4.2

Multiplique $x^{2} - 2 x + 1$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $g (x) = x - 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Etapa 7

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Etapa 7.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Etapa 7.4.2

Multiplique $x^{2} - 2 x + 1$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Etapa 7.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 7.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 7.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 7.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 7.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 7.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 + 0))$

Etapa 7.11

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore $1$ de $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $1$ de $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)$ .

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.1.2

Fatore $1$ de $(x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ .

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + 1 ((x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$

Etapa 8.1.3

Fatore $1$ de $1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + 1 ((x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$ .

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$

Etapa 8.2

Multiplique $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$(x - 2) (x^{2} - 2 x + 1) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Expanda $(x - 2) (x^{2} - 2 x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.2.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.3.1

Mova $x$ .

$x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.2.5

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.2.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} + 4 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 4 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.4

Some $x$ e $4 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Etapa 8.4.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.5.1

Expanda $(x - 2) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2))$

Etapa 8.4.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2))$

Etapa 8.4.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Etapa 8.4.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.5.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Etapa 8.4.5.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.5.2.1.2.1

Mova $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Etapa 8.4.5.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Etapa 8.4.5.2.1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Etapa 8.4.5.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x - 4 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 8.4.5.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x - 4 x + 4)$

Etapa 8.4.5.2.2

Subtraia $4 x$ de $- 2 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + 4)$

Etapa 8.4.6

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 2 x + 1 - 6 x + 4)$

Etapa 8.4.7

Subtraia $6 x$ de $- 2 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 1 + 4)$

Etapa 8.4.8

Some $1$ e $4$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 5)$

Etapa 8.4.9

Expanda $(x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + x (3 x^{2}) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.10.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.10.2.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 (x^{2} x) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.10.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{2 + 1} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.2.3

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x \cdot x + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.10.4.1

Mova $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.5

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 \cdot x - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.6

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.7

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 5$

Etapa 8.4.10.8

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} + 32 x - 20$

Etapa 8.4.11

Subtraia $12 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 20 x^{2} + 5 x + 32 x - 20$

Etapa 8.4.12

Some $5 x$ e $32 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 20 x^{2} + 37 x - 20$

Etapa 8.5

Some $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 - 20 x^{2} + 37 x - 20$

Etapa 8.6

Subtraia $20 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 5 x - 2 + 37 x - 20$

Etapa 8.7

Some $5 x$ e $37 x$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 42 x - 2 - 20$

Etapa 8.8

Subtraia $20$ de $- 2$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 42 x - 22$