Cálculo Exemplos

$2 y e^{y^{2}}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y e^{y^{2}}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{y^{2}}$ .

$2 (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2}$ .

$2 (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$2 (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Some $1$ e $1$ .

$2 (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 8.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{y^{2}}$ .

$2 (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1)$

Etapa 10

Multiplique $e^{y^{2}}$ por $1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + 2 e^{y^{2}}$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$

Etapa 11.3

Reordene os termos.

$4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$

Etapa 11.4

Reordene os fatores em $4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$