Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} + \frac{1}{5} x^{2} + \frac{1}{2} x d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Etapa 2

Como $\frac{2}{7}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{7}$ para fora da integral.

$\frac{2}{7} \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{1}{4} x^{4}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{2}{7} ((\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Etapa 8.2

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.6

Some $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.7

Multiplique $\frac{2}{7}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{7 \cdot 4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.8

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{2}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.9

Cancele o fator comum de $2$ e $28$ .

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Etapa 8.4.9.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.4.9.2.1

Fatore $2$ de $28$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.11

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.13

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.14

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.15

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.16

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.17

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.18

Para escrever $\frac{1}{14}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.19

Para escrever $\frac{1}{15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{14}{14}$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.20

Escreva cada expressão com um denominador comum de $210$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.4.20.1

Multiplique $\frac{1}{14}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{15}{14 \cdot 15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.20.2

Multiplique $14$ por $15$ .

$\frac{15}{210} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.20.3

Multiplique $\frac{1}{15}$ por $\frac{14}{14}$ .

$\frac{15}{210} + \frac{14}{15 \cdot 14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.20.4

Multiplique $15$ por $14$ .

$\frac{15}{210} + \frac{14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{15 + 14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.22

Some $15$ e $14$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.23

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.24

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 8.4.25

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 8.4.26

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Etapa 8.4.27

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Etapa 8.4.28

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.4.29

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.4.30

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{4}$

Etapa 8.4.31

Para escrever $\frac{29}{210}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Etapa 8.4.32

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{105}{105}$ .

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Etapa 8.4.33

Escreva cada expressão com um denominador comum de $420$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.4.33.1

Multiplique $\frac{29}{210}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{29 \cdot 2}{210 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Etapa 8.4.33.2

Multiplique $210$ por $2$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Etapa 8.4.33.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{105}{105}$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{4 \cdot 105}$

Etapa 8.4.33.4

Multiplique $4$ por $105$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{420}$

Etapa 8.4.34

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{29 \cdot 2 + 105}{420}$

Etapa 8.4.35

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.35.1

Multiplique $29$ por $2$ .

$\frac{58 + 105}{420}$

Etapa 8.4.35.2

Some $58$ e $105$ .

$\frac{163}{420}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{163}{420}$

Forma decimal:

$0.38809523 \dots$

Etapa 10