Cálculo Exemplos

$y'' - y = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$

Etapa 2

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r x}$ .

Etapa 3

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$ .

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Etapa 3.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Etapa 3.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0$

Etapa 3.4

Fatore $e^{r x}$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - e^{r x} = 0$

Etapa 3.4.2

Fatore $e^{r x}$ de $- e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.4.3

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1$ .

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

Etapa 3.5

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} - 1 = 0$

Etapa 4

Resolva $r$ .

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Etapa 4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$r^{2} = 1$

Etapa 4.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$r = \pm \sqrt{1}$

Etapa 4.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$r = \pm 1$

Etapa 4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = 1$

Etapa 4.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - 1$

Etapa 4.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = 1, - 1$

Etapa 5

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- x}$

Etapa 6

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- x}$

Etapa 7

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$