Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) \sqrt{2 \sin^{2} (x) - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = \sin (x)$ . Depois, $d u_{1} = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {u_{1}}^{3} \sqrt{2 {u_{1}}^{2} - 1} d u_{1}$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ é positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{1} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.5

Avalie o expoente.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.5

Avalie o expoente.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.4

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2})}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(\sqrt{2} \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\sqrt{2} \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{1} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.6.5

Avalie o expoente.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{4} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.8.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 (2)} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.8.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot 2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.8.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.9.1

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.9.2

Divida $\sec^{2} (t)$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t)} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Combine $\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.1.2

Combine $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} d t$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} d t$

Etapa 3.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Etapa 3.2.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{{\sqrt{2}}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.3.3

Multiplique $\frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}}$ por $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t) (\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Etapa 3.2.3.4

Multiplique $\sec^{3} (t)$ por $\sec (t)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.4.1

Mova $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Etapa 3.2.3.4.2

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{3} (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.4.2.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Etapa 3.2.3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{{\sec (t)}^{1 + 3} (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Etapa 3.2.3.4.3

Some $1$ e $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Etapa 3.2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{8}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) \sqrt{2} \tan^{2} (t)}{2 \sqrt{8}} d t$

Etapa 4

Como $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ para fora da integral.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Etapa 5.2

Reescreva ${\sec (t)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (t)$ como $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = \tan (t)$ . Depois, $d u_{2} = \sec^{2} (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = \tan (t)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Diferencie $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Etapa 7.1.2

A derivada de $\tan (t)$ em relação a $t$ é $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Etapa 7.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 7.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} (1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 8

Multiplique $(1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 9.2

Multiplique ${u_{2}}^{2}$ por ${u_{2}}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Etapa 9.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{4}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1})$

Etapa 13

Combine $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2

Simplifique.

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Etapa 14.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.4

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.5

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.6

Para escrever $\frac{1}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 14.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.7.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.7.3

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{5 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.7.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5 + 3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.9

Some $5$ e $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.11

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Etapa 14.2.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0))$

Etapa 14.2.13

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + 0))$

Etapa 14.2.14

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - 0)$

Etapa 14.2.15

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} + 0)$

Etapa 14.2.16

Some $\frac{8}{15}$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \cdot \frac{8}{15}$

Etapa 14.2.17

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ por $\frac{8}{15}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{2 \sqrt{8} \cdot 15}$

Etapa 14.2.18

Multiplique $15$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{30 \sqrt{8}}$

Etapa 14.2.19

Mova $8$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{30 \sqrt{8}}$

Etapa 14.2.20

Cancele o fator comum de $8$ e $30$ .

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Etapa 14.2.20.1

Fatore $2$ de $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{30 \sqrt{8}}$

Etapa 14.2.20.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.20.2.1

Fatore $2$ de $30 \sqrt{8}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Etapa 14.2.20.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Etapa 14.2.20.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{8}}$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 15.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{4 (2)}}$

Etapa 15.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 15.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 (2 \sqrt{2})}$

Etapa 15.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{30 \sqrt{2}}$

Etapa 15.4

Cancele o fator comum de $4$ e $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{30 \sqrt{2}}$

Etapa 15.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.4.2.1

Fatore $2$ de $30 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Etapa 15.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Etapa 15.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Etapa 15.5

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

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Etapa 15.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Etapa 15.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{15}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{15}$

Forma decimal:

$0.1\overline{3}$