Cálculo Exemplos

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \ln (5 x^{2})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Combine $\frac{1}{5 x^{2}}$ e $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Fatore $x$ de $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.4.4.1

Combine $5$ e $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 1.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4.2.2

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.4.6.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.6.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.6.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.6.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.6.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Etapa 1.4.8

Multiplique $\ln (5 x^{2})$ por $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Etapa 1.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \ln (5 x^{2})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.6

Combine $10$ e $\frac{1}{5 x^{2}}$ .

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.7

Combine $\frac{10}{5 x^{2}}$ e $x$ .

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.8

Cancele o fator comum de $10$ e $5$ .

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Etapa 2.2.8.1

Fatore $5$ de $10 x$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.8.2.1

Fatore $5$ de $5 x^{2}$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.9

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.9.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.10

Combine $2$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.2.11

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{x} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{4}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Etapa 3.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.5.2

Combine os termos.

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Etapa 3.5.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$