Cálculo Exemplos

$y = x^{2} e^{x}$

Etapa 1

Escreva $y = x^{2} e^{x}$ como uma função.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Reordene os termos.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 2.2.3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Etapa 2.2.4.2

Some $e^{x} (2 x)$ e $2 x e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Mova $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 2.2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Etapa 2.2.4.4

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $e^{x}$ de $4 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + 2 e^{x} = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

Etapa 3.2.4

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

Etapa 3.2.5

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

Etapa 3.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 3.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.5

Defina $x^{2} + 4 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $x^{2} + 4 x + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.3

Subtraia $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.3

Subtraia $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.3

Subtraia $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2 + \sqrt{2}$ em $f (x) = x^{2} e^{x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 2 + \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = {(- 2 + \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Reescreva ${(- 2 + \sqrt{2})}^{2}$ como $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Expanda $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.3.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.3.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.3.1.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.3.2

Some $4$ e $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.3.3

Subtraia $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 4 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.5

A resposta final é $6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$ .

$6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $- 2 + \sqrt{2}$ em $f (x) = x^{2} e^{x}$ é $(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

Etapa 4.3

Substitua $- 2 - \sqrt{2}$ em $f (x) = x^{2} e^{x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2 - \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = {(- 2 - \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Reescreva ${(- 2 - \sqrt{2})}^{2}$ como $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Expanda $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.4

Multiplique $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.4.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.4.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.2

Some $4$ e $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3.3

Some $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 4 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.5

A resposta final é $6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$ .

$6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 2 - \sqrt{2}$ em $f (x) = x^{2} e^{x}$ é $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}), (- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{2}) \cup (- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2}) \cup (- 2 + \sqrt{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.51421356$ na expressão.

$f'' (- 3.51421356) = {(- 3.51421356)}^{2} e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 3.51421356$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 (\frac{1}{e^{3.51421356}}) + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.3

Combine $12.34969696$ e $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{e^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.4

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $2.71828182$ à potência de $3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{33.58950148} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.6

Divida $12.34969696$ por $33.58950148$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $4$ por $- 3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot \frac{1}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.9

Combine $- 14.05685424$ e $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + \frac{- 14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.11

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.12

Eleve $2.71828182$ à potência de $3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{33.58950148} + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.13

Divida $14.05685424$ por $33.58950148$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 1 \cdot 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.14

Multiplique $- 1$ por $0.41848951$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

Etapa 6.2.1.15

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 (\frac{1}{e^{3.51421356}})$

Etapa 6.2.1.16

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $0.41848951$ de $0.36766538$ .

$f'' (- 3.51421356) = - 0.05082413 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 0.05082413$ e $\frac{2}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.00871828$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.00871828$ .

$0.00871828$

Etapa 6.3

Em $- 3.51421356$ , a segunda derivada é $0.00871828$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = 4 e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.3

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = \frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.4

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 2) = \frac{4}{{2.71828182}^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $2.71828182$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{4}{7.38905609} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.6

Divida $4$ por $7.38905609$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.9

Combine $- 8$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.11

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{{2.71828182}^{2}} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.12

Eleve $2.71828182$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{7.38905609} + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.13

Divida $8$ por $7.38905609$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1 \cdot 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.14

Multiplique $- 1$ por $1.08268226$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

Etapa 7.2.1.15

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

Etapa 7.2.1.16

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $1.08268226$ de $0.54134113$ .

$f'' (- 2) = - 0.54134113 + \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 0.54134113$ e $\frac{2}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = - 0.27067056$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 0.27067056$ .

$- 0.27067056$

Etapa 7.3

Em $- 2$ , a segunda derivada é $- 0.27067056$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ .

Decréscimo em $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.48578643$ na expressão.

$f'' (- 0.48578643) = {(- 0.48578643)}^{2} e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $- 0.48578643$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 (\frac{1}{e^{0.48578643}}) + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.3

Combine $0.23598846$ e $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{e^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.4

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.5

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{1.62545282} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.6

Divida $0.23598846$ por $1.62545282$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.7

Multiplique $4$ por $- 0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot \frac{1}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.9

Combine $- 1.94314575$ e $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + \frac{- 1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.11

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.12

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{1.62545282} + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.13

Divida $1.94314575$ por $1.62545282$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1 \cdot 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.14

Multiplique $- 1$ por $1.19544887$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

Etapa 8.2.1.15

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 (\frac{1}{e^{0.48578643}})$

Etapa 8.2.1.16

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $1.19544887$ de $0.14518321$ .

$f'' (- 0.48578643) = - 1.05026566 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $- 1.05026566$ e $\frac{2}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.18016069$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $0.18016069$ .

$0.18016069$

Etapa 8.3

Em $- 0.48578643$ , a segunda derivada é $0.18016069$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ .

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

Etapa 10