Cálculo Exemplos

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Etapa 4

Deixe $u = y + 2$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = y + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = y + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Etapa 4.3

Some $- 1$ e $2$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = y + 2$ .

$u_{upper} = 0 + 2$

Etapa 4.5

Some $0$ e $2$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{1}{2} y^{2}$ em $0$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Etapa 7.2

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.5

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.6

Combine $\frac{2}{3}$ e $2^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.7

Multiplique $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.7.1

Multiplique $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 7.3.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.7.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.7.4

Some $2$ e $3$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 7.3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 7.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Etapa 7.3.11

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Etapa 7.3.12

Para escrever $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.3.13

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.13.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.3.13.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.3.13.3

Multiplique $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Etapa 7.3.13.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Etapa 7.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Etapa 7.3.15

Mova $2$ para a esquerda de $2^{\frac{5}{2}} - 2$ .

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Etapa 8.2

Fatore $- 1$ de $2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Etapa 8.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Etapa 8.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 9.2

Multiplique $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore o negativo.

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 9.2.2

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 9.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 9.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 9.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 9.2.6

Some $2$ e $5$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 9.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

Etapa 9.4

Some $3$ e $4$ .

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Forma decimal:

$0.71895141 \dots$

Etapa 11