Cálculo Exemplos

$x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{π}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{π} \sin (π x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 3.3

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \cdot 1))$

Etapa 3.5

Multiplique $π$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) π)$

Etapa 3.6

Combine $\cos (π x)$ e $\frac{1}{π}$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x)}{π} π$

Etapa 3.7

Combine $\frac{\cos (π x)}{π}$ e $π$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Etapa 3.8

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.8.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Etapa 3.8.2

Divida $\cos (π x)$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \cos (π x)$