Cálculo Exemplos

$\int_{- 4}^{0} (\frac{y}{4} + \sqrt{y + 5}) d y$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} + \sqrt{y + 5} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 4}^{0} y d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Etapa 5

Deixe $u = y + 5$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = y + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 5$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 5.1.4

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = y + 5$ .

$u_{lower} = - 4 + 5$

Etapa 5.3

Some $- 4$ e $5$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = y + 5$ .

$u_{upper} = 0 + 5$

Etapa 5.5

Some $0$ e $5$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Etapa 6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{1}{2} y^{2}$ em $0$ e em $- 4$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Etapa 8.2

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $5$ e em $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} \cdot 16) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.4

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.5

Combine $- 16$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6

Cancele o fator comum de $- 16$ e $2$ .

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Etapa 8.3.6.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 8}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6.2.4

Divida $- 8$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 8) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.7

Subtraia $8$ de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 8 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.8

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 8$ .

$\frac{- 8}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9

Cancele o fator comum de $- 8$ e $4$ .

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Etapa 8.3.9.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.9.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$- 2 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.10

Combine $\frac{2}{3}$ e $5^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 8.3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 8.3.13

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 8.3.14

Combine $- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 8.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 8.3.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.16.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 8.3.16.2

Subtraia $2$ de $- 6$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 8.3.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$4.78689325 \dots$

Etapa 10