Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - x - 3}}$

Etapa 1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - x - 3}}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.1.1.2

Divida $4$ por $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $9$ por $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.2.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 3.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to - \infty} 9 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Etapa 8

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - 0 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 0 - 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Etapa 10.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 0 + 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Etapa 10.3

Some $4 + 0$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Etapa 10.4

Some $4$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Etapa 10.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 + 0 - 3 \cdot 0}}$

Etapa 10.6

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 + 0 + 0}}$

Etapa 10.7

Some $9 + 0$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 + 0}}$

Etapa 10.8

Some $9$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9}}$

Etapa 10.9

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{9}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Etapa 10.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Etapa 10.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2}{\sqrt{9}}$

Etapa 10.11

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.11.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 10.11.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2}{3}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$