Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} \sin (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 x - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$