Cálculo Exemplos

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $(x - 3) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.7.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.4.3.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.3.2

Subtraia $e^{2 x}$ de $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.4

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.5

Fatore $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ .

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Etapa 1.1.4.5.1

Fatore $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.5.2

Fatore $e^{2 x}$ de $- 7 e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.5.3

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ .

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $e^{2 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $e^{2 x}$ como igual a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Etapa 2.3.2.2

Resolva $e^{2 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{2 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.3.3

Defina $2 x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $2 x - 7$ como igual a $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $2 x - 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$2 x = 7$

Etapa 2.3.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = 7$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 7$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{7}{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4

Avalie $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{7}{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{7}{2}$ por $x$ .

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.2.1

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.1.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.1.2.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

Etapa 4.1.2.2.4.2

Subtraia $6$ de $7$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{7} \cdot 2$

Etapa 4.1.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $e^{7}$ .

$2 e^{7}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

Etapa 4.2.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

Etapa 5