Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Etapa 1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Etapa 2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Etapa 3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

Etapa 3.3

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Etapa 3.5

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 3.5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Etapa 3.5.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Etapa 3.5.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Etapa 3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Etapa 3.7.2

Multiplique $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ por $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Etapa 3.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

Etapa 3.9

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1

Avalie $e^{u}$ em $- t$ e em $0$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

Etapa 3.9.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Etapa 3.9.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Etapa 3.9.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 3.10

Como o expoente $- t$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- t}$ se aproxima de $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 3.11

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 3.11.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Subtraia $1 \cdot 1$ de $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.11.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.2.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.11.2.2.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.11.2.2.3

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

Etapa 3.11.2.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$