Cálculo Exemplos

$y = x e^{2 x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x e^{2 x})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = e^{2 x}$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$x (e^{2 x} \frac{d}{d y} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d y} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (e^{2 x} (2 x')) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (e^{2 x} (2 x')) + e^{2 x} x'$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reordene os termos.

$2 e^{2 x} x x' + e^{2 x} x'$

Etapa 3.6.2

Reordene os fatores em $2 e^{2 x} x x' + e^{2 x} x'$ .

$2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x' = 1$ .

$2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x' = 1$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x'$ .

$2 x x' e^{2 x} + x' e^{2 x} = 1$

Etapa 5.3

Fatore $x' e^{2 x}$ de $2 x x' e^{2 x} + x' e^{2 x}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x' e^{2 x}$ de $2 x x' e^{2 x}$ .

$x' e^{2 x} (2 x) + x' e^{2 x} = 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $x' e^{2 x}$ de $x' e^{2 x}$ .

$x' e^{2 x} (2 x) + x' e^{2 x} \cdot 1 = 1$

Etapa 5.3.3

Fatore $x' e^{2 x}$ de $x' e^{2 x} (2 x) + x' e^{2 x} \cdot 1$ .

$x' e^{2 x} (2 x + 1) = 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x' e^{2 x} (2 x + 1) = 1$ por $e^{2 x} (2 x + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x' e^{2 x} (2 x + 1) = 1$ por $e^{2 x} (2 x + 1)$ .

$\frac{x' e^{2 x} (2 x + 1)}{e^{2 x} (2 x + 1)} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' e^{2 x} (2 x + 1)}{e^{2 x} (2 x + 1)} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$