Cálculo Exemplos

$y = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{π}{4}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

Etapa 1.1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (- \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 (\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Etapa 1.3.3

Como $\frac{π}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Etapa 1.3.5

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Etapa 1.3.6

Como $- \frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

Etapa 1.3.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Some $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

Etapa 1.3.7.2

Combine $\frac{π}{4}$ e $- 8$ .

$\frac{π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Etapa 1.3.7.3

Combine $\frac{π \cdot - 8}{4}$ e $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{π \cdot - 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Etapa 1.3.7.4

Mova $- 8$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{- 8 \cdot π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Etapa 1.3.7.5

Cancele o fator comum de $- 8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.5.1

Fatore $4$ de $- 8 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

Etapa 1.3.7.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.5.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 (1)}$

Etapa 1.3.7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.3.7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{1}$

Etapa 1.3.7.5.2.4

Divida $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 2 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ em relação a $x$ é $- 2 π \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{π}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.5

Como $- \frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

Etapa 2.3.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Some $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.6.2

Combine $\frac{π}{4}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2}{4} \cdot (π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.6.3

Combine $\frac{π \cdot - 2}{4}$ e $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (- 2 π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Etapa 2.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Etapa 2.5

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Etapa 2.8

Combine $\frac{- 2 π^{2}}{4}$ e $\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Etapa 2.9

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Fatore $2$ de $- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

Etapa 2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 (2)}$

Etapa 2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ por $- 2 π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ por $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Etapa 4.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2 π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Etapa 4.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Etapa 4.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- π}$

Etapa 4.3.2

Divida $0$ por $- π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$

Etapa 7

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2}$

Etapa 8

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 9

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} π$

Etapa 9.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} π$

Etapa 9.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = 2$

Etapa 10

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π - 0$

Etapa 11

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π$

Etapa 11.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{π x}{4} = π + \frac{π}{2}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 11.2.3

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 11.2.5.2

Some $2 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} (3 π)$

Etapa 11.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1.2.1

Fatore $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

Etapa 11.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

Etapa 11.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = 2 \cdot 3$

Etapa 11.4.2.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = 6$

Etapa 12

A solução para a equação $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$ .

$x = 2, 6$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (2)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Fatore $2$ de $π (2)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 14.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 14.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 14.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 14.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π - π}{2})}{2}$

Etapa 14.2.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{0}{2})}{2}$

Etapa 14.2.3

Divida $0$ por $2$ .

$- \frac{π^{2} \cos (0)}{2}$

Etapa 14.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot 1}{2}$

Etapa 14.3

Multiplique $π^{2}$ por $1$ .

$- \frac{π^{2}}{2}$

Etapa 15

$x = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (2) - \frac{π}{2})$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

Etapa 16.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

Etapa 16.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 16.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π - π}{2})$

Etapa 16.2.3

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{0}{2})$

Etapa 16.2.4

Divida $0$ por $2$ .

$f (2) = 8 \cos (0)$

Etapa 16.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (2) = 8 \cdot 1$

Etapa 16.2.6

Multiplique $8$ por $1$ .

$f (2) = 8$

Etapa 16.2.7

A resposta final é $8$ .

$y = 8$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (6)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Fatore $2$ de $π (6)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 18.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 18.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 18.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot (3)}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 18.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot 3 - π}{2})}{2}$

Etapa 18.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{3 π - π}{2})}{2}$

Etapa 18.2.3

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Etapa 18.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Etapa 18.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (π)}{2}$

Etapa 18.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{π^{2} (- \cos (0))}{2}$

Etapa 18.2.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

Etapa 18.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot - 1}{2}$

Etapa 18.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $π^{2}$ .

$- \frac{- 1 \cdot π^{2}}{2}$

Etapa 18.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{π^{2}}{2}$

Etapa 18.4

Multiplique $- - \frac{π^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{π^{2}}{2}$

Etapa 18.4.2

Multiplique $\frac{π^{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{2}$

Etapa 19

$x = 6$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (6) - \frac{π}{2})$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6 - \frac{π}{2})$

Etapa 20.2.1.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

Etapa 20.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

Etapa 20.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2} \cdot 3 - \frac{π}{2})$

Etapa 20.2.1.2

Combine $\frac{π}{2}$ e $3$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 20.2.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 20.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

Etapa 20.2.2.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 20.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 20.2.2.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (6) = 8 \cos (π)$

Etapa 20.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (6) = 8 (- \cos (0))$

Etapa 20.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (6) = 8 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 20.2.5

Multiplique $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (6) = 8 \cdot - 1$

Etapa 20.2.5.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f (6) = - 8$

Etapa 20.2.6

A resposta final é $- 8$ .

$y = - 8$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ .

$(2, 8)$ é um máximo local

$(6, - 8)$ é um mínimo local

Etapa 22