Cálculo Exemplos

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

Verifique se solução determinada satisfaz a equação diferencial.

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Etapa 1.1

Encontre $y'$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Etapa 1.1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.3.1

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c e^{x^{2}}$ em relação a $x$ é $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.4.1

Reordene os fatores de $c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

Etapa 1.1.3.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

Etapa 1.1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Etapa 1.2

Substitua na equação diferencial determinada.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Etapa 1.3

Reordene os fatores em $2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Etapa 1.4

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = c e^{x^{2}}$ é uma solução para $y' = 2 x y$

Etapa 2

Substitua a condição inicial.

$1 = c e^{0^{2}}$

Etapa 3

Resolva $c$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $c e^{0^{2}} = 1$ por $e^{0^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $c e^{0^{2}} = 1$ por $e^{0^{2}}$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{0^{2}}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Etapa 3.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Etapa 3.2.3.2

Divida $1$ por $1$ .

$c = 1$