Cálculo Exemplos

$- y + 2 x y = - 3 x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- y + 2 x y) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y + 2 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y' + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- y' + 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- y' + 2 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$- y' + 2 (x y' + y)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' + 2 (x y') + 2 y$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- y' + 2 x y' + 2 y$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$2 x y' + 2 y - y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x y' + 2 y - y' = - 3$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x y' - y' = - 3 - 2 y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $2 x y' - y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $2 x y'$ .

$y' (2 x) - y' = - 3 - 2 y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 x) + y' \cdot - 1 = - 3 - 2 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (2 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ por $2 x - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ por $2 x - 1$ .

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2 y}{2 x - 1}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 3 - 2 y}{2 x - 1}$

Etapa 5.3.3.2.2

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (3) - 2 y}{2 x - 1}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3) - (2 y)}{2 x - 1}$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 + 2 y)}{2 x - 1}$

Etapa 5.3.3.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$