Cálculo Exemplos

$f (x) = {\begin{cases} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a & x < 2 \\ x^{3} + a x^{2} + 5 & x \geq 2 \end{cases}$

Etapa 1

Encontre o limite de $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ à medida que $x$ se aproxima de $2$ a partir da esquerda.

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Etapa 1.1

Altere o valor crítico bilateral para valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a$

Etapa 1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Etapa 1.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to 2^{-}} e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Etapa 1.4

Mova o limite para o expoente.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Etapa 1.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Etapa 1.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Etapa 1.7

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Etapa 1.8

Avalie o limite de $3 a$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Etapa 1.9

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Etapa 1.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Etapa 1.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 e^{2 - 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Etapa 1.10.1.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$4 e^{0} + a \cdot 2 - 3 a$

Etapa 1.10.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$4 \cdot 1 + a \cdot 2 - 3 a$

Etapa 1.10.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + a \cdot 2 - 3 a$

Etapa 1.10.1.5

Mova $2$ para a esquerda de $a$ .

$4 + 2 a - 3 a$

Etapa 1.10.2

Subtraia $3 a$ de $2 a$ .

$4 - a$

Etapa 2

Avalie $x^{3} + a x^{2} + 5$ em $2$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

${(2)}^{3} + a {(2)}^{2} + 5$

Etapa 2.2

Avalie.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 + a {(2)}^{2} + 5$

Etapa 2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 + a \cdot 4 + 5$

Etapa 2.2.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $a$ .

$8 + 4 a + 5$

Etapa 2.2.2

Some $8$ e $5$ .

$4 a + 13$

Etapa 3

Como o limite de $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ à medida que $x$ se aproxima de $2$ a partir da esquerda não é igual ao valor da função em $x = 2$ , a função não é contínua em $x = 2$ .

Não contínuo

Etapa 4