Cálculo Exemplos

$y = \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 4

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Combine.

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Etapa 6.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

Etapa 8.2

Reordene os termos.

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Etapa 8.3

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ .

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Etapa 8.3.1

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Etapa 8.3.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

Etapa 8.3.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Etapa 8.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.4.2.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

Etapa 8.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Etapa 8.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

Etapa 8.5

Fatore $- 1$ de $- x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

Etapa 8.6

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Etapa 8.7

Fatore $- 1$ de $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

Etapa 8.8

Reescreva $- (x \ln (x) - 1)$ como $- 1 (x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

Etapa 8.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$