Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \cos (2 t)$ . Depois, $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \cos (2 t)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 t$ .

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 t)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

Etapa 1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Etapa 1.5.1.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \cos (π)$

Etapa 1.5.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Etapa 1.5.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Etapa 1.5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 3

Multiplique $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 4.2

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4.4

Multiplique $u_{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4.5

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $- \frac{1}{2} u_{2}$ em $- 1$ e em $0$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Etapa 9.2

Avalie $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ em $- 1$ e em $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 9.3.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 9.3.4

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 9.3.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 9.3.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 9.3.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 9.3.8

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Etapa 9.3.9

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Etapa 9.3.10

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 9.3.11

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Etapa 9.3.13

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Etapa 9.3.14

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.3.14.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Etapa 9.3.14.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 9.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 1}{4}$

Etapa 9.3.16

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.75$