Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 1) \sin (3 x - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = \sin (3 x - 1)$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\sin (3 x - 1)] + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$(x^{2} + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) (\cos (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + 0) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) \cdot 3 + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)$ .

$3 \cdot ((x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + 0)$

Etapa 3.10

Some $2 x$ e $0$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 x^{2} + 3) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\cos (3 x - 1) (3 x^{2} + 3) + 2 x \sin (3 x - 1)$