Cálculo Exemplos

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Etapa 1

Como $44$ é constante com relação a $x$ , mova $44$ para fora da integral.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = 4 \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ é positivo.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $16$ de $16 \tan^{2} (t) + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Fatore $16$ de $16 \tan^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $16$ de $16$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.2.3

Fatore $16$ de $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Reescreva $16 \sec^{2} (t)$ como ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $4 \sec (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $4 \sec (t)$ de ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $4 \sec (t)$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ e $\sec (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Fatore $4$ de $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Etapa 3.2.3.2

Aplique a regra do produto a $4 (\tan (t))$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.3.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

Etapa 4

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{16}$ e $44$ .

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $44$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $44$ .

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva $\sec (x)$ como $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 6.2

Aplique a identidade recíproca.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 6.3.2

Combine.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 6.3.3

Multiplique $\csc (t)$ por $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 6.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 6.3.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 6.3.5

Combine $\cot (t)$ e $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 6.3.6

Reduza a expressão $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 6.3.6.2

Fatore $\cot (t)$ de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Etapa 6.3.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Etapa 6.3.6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Etapa 6.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Etapa 7

Como a derivada de $- \csc (t)$ é $\csc (t) \cot (t)$ , a integral de $\csc (t) \cot (t)$ é $- \csc (t)$ .

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{11}{4}$ e $\csc (t)$ .

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{x}{4})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{x}{4})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{x}{4})$ . Portanto, $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ é $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ .

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

Etapa 10.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.7

Reescreva $\frac{16 + x^{2}}{16}$ como ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ .

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Etapa 10.1.7.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $16 + x^{2}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.7.2

Fatore a potência perfeita $4^{2}$ de $16$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.7.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.9

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sqrt{16 + x^{2}}$ .

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

Etapa 10.1.10

Combine.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Etapa 10.1.11

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.11.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Etapa 10.1.11.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Etapa 10.2

Combine $11$ e $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ .

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Etapa 10.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Etapa 10.4

Combine.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Etapa 10.5

Multiplique $11$ por $1$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Etapa 10.6

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$