Cálculo Exemplos

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 3

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 4

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = \csc (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = \csc (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 6.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 6.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie.

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Etapa 6.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Etapa 6.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.3.4.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Etapa 6.1.3.4.2

Reordene os fatores de $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

Etapa 9.2.3

Combine $- 4$ e $\frac{u_{2}}{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

Etapa 9.2.4

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 9.2.4.1

Fatore $2$ de $- 4 u_{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

Etapa 9.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

Etapa 9.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 9.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

Etapa 9.2.4.2.4

Divida $- 2 u_{2}$ por $1$ .

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\csc (2 x)$ .

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$