Cálculo Exemplos

$y = 10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$10 (- \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 (\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Etapa 1.3.2

Como $\frac{2 π}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ em relação a $x$ é $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$ .

$- 10 \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) (\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}])$

Etapa 1.3.3

Combine frações.

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Etapa 1.3.3.1

Combine $\frac{2 π}{3}$ e $- 10$ .

$\frac{2 π \cdot - 10}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$\frac{- 20 π}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Etapa 1.3.3.3

Combine $\frac{- 20 π}{3}$ e $\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ .

$\frac{- 20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Etapa 1.3.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Etapa 1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Etapa 1.3.6

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + 0)$

Etapa 1.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.7.1

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \cdot 1$

Etapa 1.3.7.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Etapa 1.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1

Combine $\frac{2 π}{3}$ e $x$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Etapa 1.4.2.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)})}{3}$

Etapa 1.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2})}{3}$

Etapa 1.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})}{3}$

Etapa 1.4.2.3

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3 \cdot 2})}{3}$

Etapa 1.4.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- \frac{20 π}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{20 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Combine $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ e $\frac{20 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) (20 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.2

Mova $20$ para a esquerda de $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{2 π}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 π x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{π}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{6}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + 0)$

Etapa 2.3.8

Combine frações.

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Etapa 2.3.8.1

Some $\frac{2 π}{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.3.8.2

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 π (20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.8.3

Multiplique $20$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.5

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{40 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.8

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ por $20 π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ por $20 π$ .

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Etapa 5.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Etapa 5.1.2.2.2

Divida $\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ por $1$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{20 π}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Fatore $20$ de $0$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 π}$

Etapa 5.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.3.1.2.1

Fatore $20$ de $20 π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 (π)}$

Etapa 5.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 \cdot 0}{20 π}$

Etapa 5.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Etapa 5.1.3.2

Divida $0$ por $π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Etapa 5.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = \arcsin (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$

Etapa 5.4

Subtraia $\frac{π}{6}$ dos dois lados da equação.

$\frac{2 π x}{3} = - \frac{π}{6}$

Etapa 5.5

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Etapa 5.6

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Simplifique $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Etapa 5.6.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Etapa 5.6.1.1.2

Cancele o fator comum de $2 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.2.1

Fatore $2 π$ de $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Etapa 5.6.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Etapa 5.6.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Simplifique $\frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{6}$ para o numerador.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{6}$

Etapa 5.6.2.1.1.2

Fatore $3$ de $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 (2)}$

Etapa 5.6.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Etapa 5.6.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Etapa 5.6.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.2.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Etapa 5.6.2.1.2.2

Fatore $π$ de $- π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Etapa 5.6.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Etapa 5.6.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.6.2.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6.2.1.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.6.2.1.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{4}$

Etapa 5.7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π - 0$

Etapa 5.8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π$

Etapa 5.8.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.1

Subtraia $\frac{π}{6}$ dos dois lados da equação.

$\frac{2 π x}{3} = π - \frac{π}{6}$

Etapa 5.8.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.8.2.3

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 5.8.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.5.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 5.8.2.5.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.8.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.8.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1

Simplifique $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.8.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.8.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1.2.1

Fatore $2 π$ de $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.8.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.8.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.8.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.2.1

Simplifique $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.2.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 (2)}$

Etapa 5.8.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Etapa 5.8.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{5 π}{2}$

Etapa 5.8.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.2.1.2.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Etapa 5.8.4.2.1.2.2

Fatore $π$ de $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Etapa 5.8.4.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Etapa 5.8.4.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}$

Etapa 5.8.4.2.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.8.4.2.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Etapa 5.9

A solução para a equação $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$ .

$x = - \frac{1}{4}, \frac{5}{4}$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{1}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (- \frac{1}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- 2 π \frac{1}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.1.3

Combine $\frac{- 2}{4}$ e $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Reduza a expressão $\frac{- 2 π}{4}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Fatore $2$ de $- 2 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.2.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.2.1.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- π + π}{6})}{9}$

Etapa 7.3.3

Some $- π$ e $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{0}{6})}{9}$

Etapa 7.3.4

Divida $0$ por $6$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (0)}{9}$

Etapa 7.3.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot 1}{9}$

Etapa 7.3.6

Multiplique $40$ por $1$ .

$- \frac{40 π^{2}}{9}$

Etapa 8

$x = - \frac{1}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{1}{4}$ é um máximo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $x = - \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((- \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}))$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{4})$

Etapa 9.2.2

Some $- 1$ e $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Etapa 9.2.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{2 (2)})$

Etapa 9.2.3.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{2 \cdot 2})$

Etapa 9.2.3.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{0}{2})$

Etapa 9.2.4

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{0}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 0}{3 \cdot 2})$

Etapa 9.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.5.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{3 \cdot 2})$

Etapa 9.2.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{6})$

Etapa 9.2.5.3

Divida $0$ por $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (0)$

Etapa 9.2.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cdot 1$

Etapa 9.2.7

Multiplique $10$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Etapa 9.2.8

A resposta final é $10$ .

$y = 10$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{5}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Combine $\frac{5}{4}$ e $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.1.2

Combine $\frac{5 \cdot 2}{4}$ e $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.2.2

Reduza a expressão $\frac{10 π}{4}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Fatore $2$ de $10 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.2.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.2.2.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.2.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.3.1.2

Multiplique $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Etapa 11.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π + π}{6})}{9}$

Etapa 11.3.3

Some $5 π$ e $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Etapa 11.3.4

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Etapa 11.3.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (π)}{9}$

Etapa 11.3.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{40 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

Etapa 11.3.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{40 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Etapa 11.3.8

Multiplique $- 1$ por $40$ .

$- \frac{- 40 π^{2}}{9}$

Etapa 11.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{40 π^{2}}{9}$

Etapa 11.5

Multiplique $- - \frac{40 π^{2}}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{40 π^{2}}{9}$

Etapa 11.5.2

Multiplique $\frac{40 π^{2}}{9}$ por $1$ .

$\frac{40 π^{2}}{9}$

Etapa 12

$x = \frac{5}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5}{4}$ é um mínimo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{5}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{4}$ na expressão.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((\frac{5}{4}) + \frac{1}{4}))$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{5 + 1}{4})$

Etapa 13.2.2

Some $5$ e $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Etapa 13.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Etapa 13.2.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{2 (2)})$

Etapa 13.2.3.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{2 \cdot 2})$

Etapa 13.2.3.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{2})$

Etapa 13.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (2)}{2})$

Etapa 13.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2})$

Etapa 13.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 13.2.5

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Etapa 13.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Etapa 13.2.6.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π)$

Etapa 13.2.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- \cos (0))$

Etapa 13.2.8

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 13.2.9

Multiplique $10 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot - 1$

Etapa 13.2.9.2

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$f (\frac{5}{4}) = - 10$

Etapa 13.2.10

A resposta final é $- 10$ .

$y = - 10$

Etapa 14

Esses são os extremos locais para $f (x) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot (x + \frac{1}{4}))$ .

$(- \frac{1}{4}, 10)$ é um máximo local

$(\frac{5}{4}, - 10)$ é um mínimo local

Etapa 15