Cálculo Exemplos

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (e^{4 x} - e^{5 y})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 x} - e^{5 y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{4 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Etapa 3.2.2

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$e^{4 x} (4 x') + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- e^{5 y}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$ .

$e^{4 x} (4 x') - \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 5 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [5 y])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [5 y])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \frac{d}{d y} [5 y])$

Etapa 3.3.3

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 y$ em relação a $y$ é $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \cdot 5)$

Etapa 3.3.6

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 y}$ .

$e^{4 x} (4 x') - (5 \cdot e^{5 y})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - 5 e^{5 y}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reordene os fatores em $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 x' e^{4 x} - 5 e^{5 y}$

Etapa 5.3

Subtraia $4 x' e^{4 x}$ dos dois lados da equação.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y}$

Etapa 5.4

Subtraia $x e^{x y}$ dos dois lados da equação.

$y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Etapa 5.5

Fatore $x'$ de $y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Fatore $x'$ de $y x' e^{x y}$ .

$x' (y e^{x y}) - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Etapa 5.5.2

Fatore $x'$ de $- 4 x' e^{4 x}$ .

$x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Etapa 5.5.3

Fatore $x'$ de $x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x})$ .

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ por $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ por $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{- 5 e^{5 y} - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Etapa 5.6.3.2

Fatore $- 1$ de $- 5 e^{5 y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Etapa 5.6.3.3

Fatore $- 1$ de $- x e^{x y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Etapa 5.6.3.4

Fatore $- 1$ de $- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Etapa 5.6.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.5.1

Reescreva $- (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ como $- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Etapa 5.6.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$