Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} + x^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} + 4 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 12 x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x^{3}$ de $5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x^{3}$ de $5 x^{4}$ .

$x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4$ .

$x^{3} (5 x + 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$5 x + 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $5 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $5 x + 4$ como igual a $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $5 x + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 4$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $5 x = - 4$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 4$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{5}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $x^{3} (5 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{4}{5}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - \frac{4}{5}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $20$ por $0$ .

$0 + 12 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 12 \cdot 0$

Etapa 9.1.4

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{4}{5}) \cup (- \frac{4}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 3$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{4}{5})$ na primeira derivada $5 x^{4} + 4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 4 {(- 3)}^{3}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f' (- 3) = 5 \cdot 81 + 4 {(- 3)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $5$ por $81$ .

$f' (- 3) = 405 + 4 {(- 3)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f' (- 3) = 405 + 4 \cdot - 27$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $4$ por $- 27$ .

$f' (- 3) = 405 - 108$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $108$ de $405$ .

$f' (- 3) = 297$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $297$ .

$297$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $- 0.4$ , do intervalo $(- \frac{4}{5}, 0)$ na primeira derivada $5 x^{4} + 4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.4$ na expressão.

$f' (- 0.4) = 5 {(- 0.4)}^{4} + 4 {(- 0.4)}^{3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $- 0.4$ à potência de $4$ .

$f' (- 0.4) = 5 \cdot 0.0256 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $5$ por $0.0256$ .

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $- 0.4$ à potência de $3$ .

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 \cdot - 0.064$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $4$ por $- 0.064$ .

$f' (- 0.4) = 0.128 - 0.256$

Etapa 10.3.2.2

Subtraia $0.256$ de $0.128$ .

$f' (- 0.4) = - 0.128$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $- 0.128$ .

$- 0.128$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $5 x^{4} + 4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 5 {(2)}^{4} + 4 {(2)}^{3}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = 5 \cdot 16 + 4 {(2)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $5$ por $16$ .

$f' (2) = 80 + 4 {(2)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 80 + 4 \cdot 8$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 80 + 32$

Etapa 10.4.2.2

Some $80$ e $32$ .

$f' (2) = 112$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $112$ .

$112$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - \frac{4}{5}$ , então $x = - \frac{4}{5}$ é um máximo local.

$x = - \frac{4}{5}$ é um máximo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 10.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{5} + x^{4}$ .

$x = - \frac{4}{5}$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = - \frac{4}{5}$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11