Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.2.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.2.6.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- x + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- \frac{3}{20}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{20} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} (5 x^{4})$

Etapa 1.4.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 5 (\frac{3}{20}) x^{4}$

Etapa 1.4.4

Combine $- 5$ e $\frac{3}{20}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4}$

Etapa 1.4.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15}{20} x^{4}$

Etapa 1.4.6

Combine $\frac{- 15}{20}$ e $x^{4}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15 x^{4}}{20}$

Etapa 1.4.7

Cancele o fator comum de $- 15$ e $20$ .

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Etapa 1.4.7.1

Fatore $5$ de $- 15 x^{4}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{20}$

Etapa 1.4.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.7.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)}$

Etapa 1.4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4}$

Etapa 1.4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 3 x^{4}}{4}$

Etapa 1.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3 x^{4}}{4}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- \frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 x^{4}}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.6

Combine $\frac{- 12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.7

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

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Etapa 2.2.7.1

Fatore $4$ de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{3}$ por $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$