Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sec^{2} (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sec^{2} (x)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Avalie $x \tan (x)$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Etapa 3.1.2

Avalie $\ln (| \sec (x) |)$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Etapa 3.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.1.3.1

Combine $\frac{π}{4}$ e $\tan (\frac{π}{4})$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $0$ por $\tan (0)$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Etapa 3.1.3.3

Some $\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4}$ e $0$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Etapa 3.1.3.4

Para escrever $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.1.3.5

Combine $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Etapa 3.1.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Etapa 3.1.3.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Etapa 3.2.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Etapa 3.2.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{π - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Etapa 3.2.5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.3.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ é aproximadamente $1.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})}{4}$

Etapa 3.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})}{4}$

Etapa 3.3.3

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Forma decimal:

$0.43882457 \dots$