Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin (3 x)}{4 \sin (4 x)}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{3}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (4 x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Etapa 2.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (4 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 2.1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Etapa 2.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Etapa 2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 2.3.7.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 2.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 2.3.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Etapa 2.3.10

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4}$

Etapa 2.3.11

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 x)$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{4 \cos (4 x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{3}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\cos (4 x)}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Etapa 3.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Etapa 3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Etapa 3.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

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Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Etapa 5.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{16} \cdot 1$

Etapa 5.5

Multiplique $\frac{9}{16}$ por $1$ .

$\frac{9}{16}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{9}{16}$

Forma decimal:

$0.5625$