Cálculo Exemplos

$\frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{6} x^{- 3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$\frac{1}{6} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 3}{6} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{- 3}{6}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2.5

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $- 3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- \frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{6} x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - 3 (\frac{1}{6}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3.4

Combine $- 3$ e $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3.5

Combine $\frac{- 3}{6}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $- 3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Etapa 1.4

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Some $- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$ e $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.2.6.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2 x^{4}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{3}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 5})$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- x + 4 (\frac{1}{2}) x^{- 5}$

Etapa 2.3.9

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- x + \frac{4}{2} x^{- 5}$

Etapa 2.3.10

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$- x + \frac{4 x^{- 5}}{2}$

Etapa 2.3.11

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x + \frac{4}{2 x^{5}}$

Etapa 2.3.12

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.12.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Etapa 2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.12.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{5}$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{5})}$

Etapa 2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Etapa 2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - x + \frac{2}{x^{5}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x + \frac{2}{x^{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{5}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 1 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Etapa 3.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$- 1 + 2 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $x^{- 10}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.1

Mova $x^{4}$ .

$- 1 + 2 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Etapa 3.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 + 2 (- 5 x^{4 - 10})$

Etapa 3.3.7.3

Subtraia $10$ de $4$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 6})$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$- 1 - 10 x^{- 6}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 - 10 \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Combine $- 10$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$- 1 + \frac{- 10}{x^{6}}$

Etapa 3.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 1 - \frac{10}{x^{6}}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = - \frac{10}{x^{6}} - 1$