Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + x + 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Etapa 1.5

Some $4 x^{3} + 1$ e $0$ .

$4 x^{3} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $12 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $4 x^{3} + 1$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 1$ .

$4 x^{3} + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 1 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} = - 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 x^{3} = - 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 x^{3} = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{3} = - \frac{1}{4}$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$

Etapa 5.5

Simplifique $\sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva $- \frac{1}{4}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}$ .

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Etapa 5.5.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{4}}$

Etapa 5.5.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}}$

Etapa 5.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Etapa 5.5.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Etapa 5.5.4

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 5.5.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 5.5.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Etapa 5.5.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 5.5.7.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 5.5.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.5.7.4

Some $1$ e $2$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 5.5.7.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Etapa 5.5.7.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.5.7.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.5.7.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.5.7.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.5.7.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.5.7.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 5.5.7.5.5

Avalie o expoente.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 5.5.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.8.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Etapa 5.5.8.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Etapa 5.5.8.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Etapa 5.5.8.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Etapa 5.5.8.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Etapa 5.5.8.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 5.5.9

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.9.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Etapa 5.5.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.5.9.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.5.9.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2})$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 9.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 9.2.2

Multiplique $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$12 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2^{2}}$

Etapa 9.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{2^{2}}$

Etapa 9.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 9.4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Etapa 9.4.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 9.4.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Etapa 9.4.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Etapa 9.4.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \sqrt[3]{4}$

Etapa 10

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Remova os parênteses.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ como $\sqrt[3]{2^{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.4.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{16}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.4.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.4.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.4.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.6

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.6.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.6.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Etapa 11.2.3

Para escrever $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Etapa 11.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Etapa 11.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Etapa 11.2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.6.1.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - 4 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Etapa 11.2.6.1.2

Subtraia $4 \sqrt[3]{2}$ de $\sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Etapa 11.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} + x + 2$ .

$(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2)$ é um mínimo local

Etapa 13