Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{3 - \sqrt{2 x + 5}}{x - 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 - \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{4 + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Some $4$ e $5$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{3 - \sqrt{2 x + 5}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{2 x + 5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{2 x + 5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - \sqrt{2 x + 5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x + 5}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x + 5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x + 5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x + 5}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x + 5}$ como ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x + 5$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.14

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.16

Combine $\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.17

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{2 \cdot {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.18

Mova ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.19

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.20

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 2} - \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2 x + 5}$ .

$lim_{x \to 2} - \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} - \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$- \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$- \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 5}}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 5}}$

Etapa 4.2

Some $4$ e $5$ .

$- \frac{1}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 4.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{1}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$