Cálculo Exemplos

$\int x \cos (4 π x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 π x^{2}$ . Depois, $d u = 8 \cdot x π d x$ , então, $\frac{1}{8 π} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 π x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 π x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $4 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 π x^{2}$ em relação a $x$ é $4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 π (2 x)$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 π x$

Etapa 1.1.5

Reordene $8 π$ e $x$ .

$x (8 π)$

Etapa 1.1.6

Reordene $x$ e $8$ .

$8 \cdot x π$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{8 π} d u$

Etapa 2

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{8 π}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{8 π} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{8 π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8 π}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8 π} \int \cos (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{8 π} (\sin (u) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{8 π} \sin (u) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 π x^{2}$ .

$\frac{1}{8 π} \sin (4 π x^{2}) + C$