Cálculo Exemplos

$y = 2 \sin (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (2 \sin (x))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 (\cos (x) \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 \cos (x) x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 2 \cos (x) x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $2 \cos (x) x' = 1$ .

$2 \cos (x) x' = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) x' = 1$ por $2 \cos (x)$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) x' = 1$ por $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) x'}{2 \cos (x)} = \frac{1}{2 \cos (x)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x) x'}{2 \cos (x)} = \frac{1}{2 \cos (x)}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{1}{2 \cos (x)}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{1}{2 \cos (x)}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{2 \cos (x)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Separe as frações.

$x' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.3.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$x' = \frac{1}{2} \sec (x)$

Etapa 5.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sec (x)$ .

$x' = \frac{\sec (x)}{2}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\sec (x)}{2}$