Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.4

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.6.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.2.6.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $e$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - e}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{1} - e}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique.

$\frac{0}{e - e}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $e$ de $e$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Etapa 3.5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Etapa 3.6

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - e$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}$

Etapa 3.9

Como $- e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + 0}$

Etapa 3.10

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Etapa 4

Combine os termos.

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Etapa 4.1

Para escrever $2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x}{x} + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Etapa 4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{e^{x}}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Etapa 8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Etapa 10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Etapa 11

Mova o limite para o expoente.

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 12.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 12.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{1}}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Divida $2 \cdot 1 \cdot 1 + 1$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Etapa 13.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.1

Multiplique $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 13.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Etapa 13.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 1}{e^{1}}$

Etapa 13.2.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3}{e^{1}}$

Etapa 13.3

Simplifique.

$\frac{3}{e}$