Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{2 \ln (lim_{x \to - 1} - x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Etapa 1.2.3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \ln (- lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Etapa 1.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{2 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.4.2.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Etapa 1.2.4.2.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 1.3.1.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 1.3.1.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 1.3.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{3 \cdot - 1 + 3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \ln (- x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{- 1 (- 1)}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (- \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{x}$ e $- 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.10

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.12

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Etapa 3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x + 3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}]$ .

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Etapa 3.14.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x + 3$ .

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Etapa 3.14.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14.7

Some $3$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.14.8

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x + 3}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + 0}$

Etapa 3.16

Some $3 e^{3 x + 3}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x (3 e^{3 x + 3})}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{2}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 1} \frac{1}{x (e^{3 x + 3})}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3}}$

Etapa 10

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3}}$

Etapa 11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Etapa 12

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Etapa 13

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3}}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Combine.

$\frac{2 \cdot 1}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 15.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 \cdot (- 1 (- 1))}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Etapa 15.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3 (e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Etapa 15.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 15.3.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{3 e^{- 3 + 3}}$

Etapa 15.3.2

Some $- 3$ e $3$ .

$- \frac{2}{3 e^{0}}$

Etapa 15.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Etapa 15.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{2}{3}$